Математическая постановка

Цель спектрального анализа - разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот, для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо. Один из возможных способов сделать это - решить задачу линейной множественной регрессии, где зависимая переменная - наблюдаемый временной ряд, а независимые переменные или регрессоры: функции синусов всех возможных (дискретных) частот. Такая модель линейной множественной регрессии может быть записана как

(для k = 1 до q)

Следующее общее понятие классического гармонического анализа в этом уравнении - (лямбда) - это круговая частота, выраженная в радианах в единицу времени, т.е.

где - константа pi = 3.1416 и .

Здесь важно осознать, что вычислительная задача подгонки функций синусов и косинусов разных длин к данным может быть решена с помощью множественной линейной регрессии. Заметим, что коэффициенты при косинусах и коэффициенты при синусах - это коэффициенты регрессии, показывающие степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными (заметим, что сами синусы и косинусы на различных частотах не коррелированы или, другим языком, ортогональны. Таким образом, мы имеем дело с частным случаем разложения по ортогональным полиномам). Всего существует q различных синусов и косинусов; интуитивно ясно, что число функций синусов и косинусов не может быть больше числа данных в ряде. Не вдаваясь в подробности, отметим, если N - количество данных, то будет N/2+1 функций косинусов и N/2-1 функций синусов. Другими словами, различных синусоидальных волн будет столько же, сколько данных, и вы сможете полностью воспроизвести ряд по основным функциям. (Заметим, если количество данных в ряде нечетно, то последнее наблюдение обычно опускается. Для определения синусоидальной функции нужно иметь, по крайней мере, две точки: высокого и низкого пика).

В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными. Если найденная корреляция (коэффициент при определенном синусе или косинусе) велика, то можно заключить, что существует строгая периодичность на соответствующей частоте в данных.

Еще статьи по экономике

Инфляция и её социально-экономические последствия
Инфляция - переполнение каналов обращения избыточными бумажными деньгами, не обеспеченными соответствующим ростом товарной массы. Практически во всех странах мира уровень ин ...

Формирование эффективной инвестиционной стратегии предприятия на материалах ООО Северное сияние
Для осуществления эффективной производственно-хозяйственной деятельности предприятий в современных условиях особо актуальной является проблема привлечения, мобилизации и эффективного использ ...

Методы и расчет заработной платы на предприятии ООО Парк Дракино
Учет труда и заработной платы занимает одно из центральных мест во всей системе финансового учета в организации. Главной особенностью при начислении заработной платы, является ...